Elektrotechnik – 3. Gleichstrom II

Luft- und Raumfahrttechnik Bachelor, 1. Semester

David Straub

3. Gleichstrom

1. Stromstärke und Stromdichte
2. Stromleitung in Metallen
3. Ohm’sches Gesetz und Widerstand
4. Temperaturabhängigkeit des Widerstands
5. Die Kirchhoff’schen Gesetze
6. Reihen- und Parallelschaltung, Teilerregeln
7. Zweipoltheorie
8. Arbeit und Leistung
9. Reale Messungen im Gleichstromkreis

Zählpfeile: Vorzeichen festlegen

Vor dem Rechnen bekommt jede Spannung und jeder Strom eine Zählrichtung – frei wählbar, ab dann verbindlich. Ein negatives Ergebnis heißt einfach: es fließt andersherum.

• Verbraucherzählpfeilsystem: und am Bauteil gleichsinnig (Widerstände)
• Erzeugerzählpfeilsystem: und gegensinnig (Quellen)
• Beim Maschenumlauf: Pfeil in Umlaufrichtung → positiv zählen, sonst negativ

Knotenpunktregel (1. Kirchhoff’sches Gesetz)

In einem Knotenpunkt kann weder Ladung gespeichert noch erzeugt werden. Die Summe aller zufließenden Ströme ist gleich der Summe aller abfließenden Ströme:

Zufließende Ströme zählen positiv, abfließende negativ.

Maschenregel (2. Kirchhoff’sches Gesetz)

Spannung ist eine Potentialdifferenz (2.2). Wer einmal die Masche entlang läuft, kommt beim selben Potential wieder an. Die Summe aller Spannungen in einer Masche ist deshalb Null:

Vorzeichen in der Masche

In der Masche gilt , , .

Wie groß ist ?

A)

B)

C)

D)

Wie viele unabhängige Gleichungen gibt es?

Netzwerk mit Knoten und Zweigen:

• Knoten: alle Punkte, die nur durch Draht verbunden sind

• Zweig: ein Bauteil (Widerstand, Quelle) zwischen zwei Knoten

• Unabhängige Knotengleichungen:
  (die letzte Knotengleichung folgt aus den anderen)

• Unabhängige Maschengleichungen:

Zusammen: Gleichungen für unbekannte Zweigströme ✓

Beispiel: 2 Knoten, 3 Zweige → 1 Knotengleichung + 2 Maschengleichungen

Aufgabe 7a: Kirchhoff

Gegeben: , , ,

a) Markieren Sie die Knoten. Wie viele Knoten, Zweige und unabhängige Gleichungen hat die Schaltung?

b) Bestimmen Sie , und mit den Kirchhoff’schen Gesetzen.

c) Wie groß sind , und ?

Reihenschaltung von Widerständen

• Kein Abzweig dazwischen → gleicher Strom durch alle (Knotenregel):
• Maschenregel:
• Mit :
• Folge: ist größer als der größte Einzelwiderstand

Spannungsteiler

Bei einer Reihenschaltung teilt sich die Gesamtspannung im Verhältnis der Widerstände auf:

Parallelschaltung von Widerständen

• Dieselben zwei Knoten → gleiche Spannung an allen (Maschenregel)
• Knotenregel:
• Mit :
• Folge: ist kleiner als der kleinste Einzelwiderstand

Stromteilerregel

Bei einer Parallelschaltung teilt sich der Gesamtstrom im umgekehrten Verhältnis der Widerstände bzw. im direkten Verhältnis der Leitwerte auf:

Zwei Widerstände:

Reihe oder parallel? So erkennt man es wirklich

• In Reihe ⇔ zwischen ihnen kein Knoten mit Abzweig ⇔ zwingend derselbe Strom
• Parallel ⇔ beide an denselben zwei Knoten ⇔ zwingend dieselbe Spannung

Wie die Schaltung gezeichnet ist, bedeutet gar nichts – entscheidend sind die Knoten.

Methode: Knoten markieren

1. Alle Punkte, die nur durch Draht verbunden sind, bilden einen Knoten → gleich einfärben
2. Schaltung mit diesen Knoten neu zeichnen
3. Kriterium von der vorigen Folie anwenden

Wie liegen und zueinander?

A) in Reihe     B) parallel     C) keins von beidem

Wie liegen und zueinander?

A) in Reihe     B) parallel     C) keins von beidem

Wie liegen und zueinander?

A) in Reihe     B) parallel     C) keins von beidem

Wie liegen und zueinander?

A) in Reihe     B) parallel     C) keins von beidem

Wie liegen und zueinander?

A) in Reihe     B) parallel     C) keins von beidem

Aufgabe 7b: Belasteter Spannungsteiler

Ein Spannungsteiler besteht aus an einer Quelle . Am Abgriff (über ) wird die Spannung abgenommen. Zeichnen Sie die Schaltung selbst!

a) Wie groß ist im Leerlauf (kein Verbraucher angeschlossen)?

b) Nun wird ein Verbraucher an den Abgriff angeschlossen (parallel zu ). Schätzen Sie zuerst: steigt oder sinkt ? Wie groß ist jetzt?

Zweipoltheorie

Ein Zweipol (two-pole) oder Eintor (one-port) ist ein elektrisches Bauteil mit zwei zugänglichen Anschlüssen.

Das große Versprechen dieses Abschnitts: Jedes noch so komplizierte lineare Netzwerk verhält sich an zwei Klemmen wie eine Quelle mit zwei Kenngrößen ( und ).

Passive lineare Zweipole

• Passiv: Zweipol gibt keine Energie ab
• Linear (Ohm’sch): Strom-Spannungs-Kennlinie ist eine Gerade

Passive lineare Zweipole können zu einem Ersatzwiderstand zusammengefasst werden – wie gerade bei Reihe und Parallel:

Ideale Spannungsquelle

Eine ideale Spannungsquelle liefert eine konstante Spannung , unabhängig von der Belastung.

• Konstante Klemmenspannung
• Innenwiderstand
• Beliebiger Strom möglich

Ideale Stromquelle

Eine ideale Stromquelle liefert einen konstanten Strom , unabhängig von der Belastung.

• Konstanter Strom
• Innenwiderstand
• Beliebige Spannung möglich

Warum sinkt die Batteriespannung?

Beim Starten eines Autos sinkt die Spannung der Batterie – direkt an ihren Polen gemessen – von auf etwa .

Woran liegt das?

A) Die Batterie ist in diesem Moment fast leer.

B) Ein Teil der Spannung fällt in der Batterie selbst ab.

C) Der Anlasser erzeugt eine Gegenspannung.

D) Die Kabel zum Anlasser haben einen Widerstand.

Reale Spannungsquelle

Eine reale Spannungsquelle = ideale Spannungsquelle in Reihe mit einem Innenwiderstand :

• Leerlauf (): (maximale Spannung)
• Kurzschluss (): (maximaler Strom)

Reale Stromquelle

Eine reale Stromquelle = ideale Stromquelle parallel zu einem Innenwiderstand :

• Leerlauf:
• Kurzschluss:

Die U-I-Kennlinie

Die Kennlinien im Vergleich – die reale Quelle ist eine fallende Gerade zwischen zwei Punkten, die man messen (oder berechnen) kann:

• : Schnittpunkt mit der U-Achse (Leerlauf)
• : Schnittpunkt mit der I-Achse (Kurzschluss)
• Steigung:

Kurzschlussstrom aus zwei Messungen

An einer Quelle misst man im Leerlauf . Bei einem Laststrom von sind es noch .

Welcher Strom fließt im Kurzschluss?

A)

B)

C)

D) unbegrenzt viel

Äquivalenz von realer Spannungs- und Stromquelle

Reale Spannungsquelle und reale Stromquelle sind äquivalent (gleiche Kennlinie!), wenn:

Umrechnung (gleiche !):

• Spannungsquelle → Stromquelle:
• Stromquelle → Spannungsquelle:

ist also gerade der Kurzschlussstrom aus der Kennlinie.

Von außen sind beide nicht unterscheidbar – wählen Sie die Darstellung, die die Rechnung einfacher macht!

Aufgabe 7c: Reale Quelle

Eine Flugzeugbatterie hat die Leerlaufspannung und den Innenwiderstand .

a) Ein Verbraucher mit wird angeschlossen. Wie groß sind Strom und Klemmenspannung ?

b) Geben Sie die äquivalente Ersatzstromquelle an (, ).

c) Skizzieren Sie die --Kennlinie und tragen Sie Leerlauf, Kurzschluss und den Arbeitspunkt aus a) ein.

Zwischenstand & Ausblick

• Zählpfeile zuerst festlegen; ein negatives Ergebnis heißt: es fließt andersherum
• Kirchhoff: (Knoten), (Masche); unabhängige Knotengleichungen
• Teilerregeln: Spannung ∝ R (Reihe), Strom ∝ G (parallel) – entscheidend sind die Knoten, nicht die Zeichnung
• Ein belasteter Spannungsteiler bricht ein!
• Reale Quelle = zwei Kenngrößen: und (oder äquivalent )

Nächste Woche: Ersatzquellen für beliebige Netzwerke, Leistung und Messen im Gleichstromkreis.